두 명의 분석가가 동일한 의사결정 시스템으로 1년을 일했습니다. 한 명은 자산이 두 배가 되었고, 다른 한 명은 절반이 되었습니다. 우위가 같은데 결과가 정반대입니다. 차이는 하나뿐입니다. 한 명은 변동성을 이해했고, 다른 한 명은 기대값만 봤습니다. 변동성 통제 분석은 기대값을 결과로 변환하는 단 하나의 다리입니다.
기대값만 보면 시스템이 무너진다
기대값 +5퍼센트인 의사결정 규칙이 있다고 합시다. 100회 반복하면 평균 50퍼센트 수익을 기대할 수 있을까요. 단순 산술로는 그렇습니다. 그러나 같은 기대값이라도 표준편차가 30퍼센트면 10회에 한 번꼴로 50퍼센트 손실 구간이 옵니다. 그 구간에서 자산이 일정 수준 아래로 떨어지면 회복에 필요한 다음 시행 자체가 불가능해집니다. 우위가 있어도 우위가 작동할 자리가 사라집니다.
변동성은 평균을 중심으로 결과가 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 양입니다. 표준편차는 그 분산의 제곱근입니다. 정규분포 가정 하에서 결과의 약 68퍼센트가 ±1 표준편차 안에, 약 95퍼센트가 ±2 표준편차 안에 들어갑니다. 문제는 인간 사회와 금융 시장 데이터가 정규분포를 따르지 않는다는 점입니다.
두꺼운 꼬리와 검은 백조
실제 데이터에는 두꺼운 꼬리(fat tail)가 있습니다. 정규분포가 예측하는 것보다 극단값이 훨씬 자주 발생합니다. 1987년 블랙 먼데이, 1998년 LTCM 파산, 2008년 글로벌 금융위기, 2020년 코로나 폭락이 모두 정규분포로는 거의 불가능에 가까운 사건이었지만 실제로 일어났습니다.
이 두꺼운 꼬리를 무시하면 어떻게 되는가. 표준편차로 계산한 노출 규모가 실제 변동성을 과소평가합니다. 자기가 안전하다고 믿는 위치가 사실은 자주 파산 영역에 있게 됩니다. 나심 탈레브가 “검은 백조”에서 길게 다룬 주제이고, 만델브로트가 평생 경고했던 부분입니다. 표본 크기 통계가 가르치는 가장 차가운 진실에서 짚었듯, 충분히 큰 표본이 없으면 꼬리의 두께를 측정할 수도 없습니다.
변동성을 통제하는 세 가지 도구
도구 1, 노출 규모 축소
가장 단순합니다. 노출을 줄이면 변동성이 줄어듭니다. 켈리 공식은 최적 노출 비율을 계산하지만, 실전에서는 켈리값의 1/4 또는 1/2을 쓰는 것이 일반적입니다. 이것을 분수 켈리(fractional Kelly)라고 부릅니다. 켈리값을 그대로 쓰면 이론적으로는 장기 자산 성장률을 극대화하지만, 단기 변동성이 너무 커서 추정 오차에 매우 취약하고 심리적으로도 견디기 어렵습니다.
도구 2, 상관관계 분산
상관관계가 낮은 여러 의사결정에 자원을 나누면, 각 의사결정의 분산은 그대로지만 포트폴리오 전체의 분산은 감소합니다. 마코위츠가 1952년 노벨상으로 이어진 논문에서 증명한 현대 포트폴리오 이론의 핵심입니다. 단, 위기 시 모든 상관관계가 1에 수렴하는 현상이 있어서 이 분산 효과가 가장 필요한 순간에 사라집니다. 2008년 위기 때 모든 자산군이 동시 하락했던 것이 그 사례입니다.
도구 3, 손절 규칙
특정 비율 이상 손실이 발생하면 의사결정을 중단하는 사전 규칙입니다. 단순하지만 효과는 큽니다. 손절 규칙의 핵심은 “내가 틀렸을 때 얼마까지 잃을지를 미리 정해 놓는 것”입니다. 손실이 발생한 뒤에는 손절을 실행하지 못합니다. 인간의 손실 회피 심리가 막습니다. 그래서 의사결정 이전에 정해 둬야 합니다.
샤프 비율, 우위와 변동성의 동시 평가
같은 기대값이라도 변동성이 다르면 가치가 다릅니다. 이 둘을 한꺼번에 평가하는 지표가 샤프 비율(Sharpe ratio)입니다. 초과 수익을 표준편차로 나눈 값입니다. 샤프 비율 1.0이면 양호, 2.0이면 우수, 3.0이면 거의 신화적 영역입니다. 일반 주식 투자자의 평균 샤프 비율은 0.3에서 0.5 사이입니다.
샤프 비율의 한계도 분명합니다. 분산이 대칭이라는 가정을 깔고 있어서, 두꺼운 꼬리가 있는 자산에서는 실제 위험을 과소평가합니다. 그래서 소르티노 비율(Sortino ratio), 칼마 비율(Calmar ratio) 같은 보완 지표가 만들어졌습니다. 다만 이 지표들도 표본이 작으면 의미가 흐려집니다.
변동성의 시간 척도
변동성은 시간에 비례해서 커지지 않습니다. 일별 표준편차에 거래일 수의 제곱근을 곱하면 그 기간의 표준편차가 됩니다. 일별 1퍼센트 변동성이면 연간 약 16퍼센트 변동성입니다. 252의 제곱근이 약 15.87이기 때문입니다. 이 공식은 수익률이 독립이라는 가정 하에 성립합니다. 실제로는 변동성 클러스터링이 있어서 큰 변동성 뒤에는 큰 변동성이 자주 따라옵니다.
이 시간 의존성 때문에 단기 변동성과 장기 변동성을 같은 척도로 비교하면 안 됩니다. 단기에서는 변동성이 평균보다 훨씬 커 보이고, 장기에서는 평균에 수렴해서 작아 보입니다. 이를 모르고 단기 변동성에 놀라 손절하면, 통계적으로는 정상 범위 안에서 평균 회귀가 일어났을 자산을 영구 손실로 확정시키게 됩니다.
Dr. R의 메모
변동성 통제의 실전 출발점은 자기 결정의 표준편차를 측정하는 것입니다. 측정하지 않으면 통제할 수 없습니다. 최근 100회의 의사결정 결과를 표에 정리해 보십시오. 평균과 표준편차를 계산하고, 그 표준편차의 두 배를 평균에서 빼 보십시오. 그 값이 양수이면 노출 규모를 더 줄여도 됩니다. 음수이면 규모가 이미 너무 큽니다. 자산이 한 번에 그 음수만큼 빠질 수 있다는 뜻이기 때문입니다.
마지막으로 한 가지 더. 변동성을 통제한다는 말은 변동성을 0으로 만든다는 뜻이 아닙니다. 변동성이 없으면 우위도 거의 없습니다. 변동성은 우위의 비용입니다. 그 비용을 자기 자산이 감당할 수 있는 범위로 조정하는 것, 그것이 통제의 전부입니다. 켈리 공식의 수학적 일반화는 USC 수학과의 켈리 기준 일반화 논문에서 단순 베르누이 모델부터 레비 프로세스까지 단계적으로 다룹니다.
